תוכנית הלימודים במתמטיקה כיתה י"ב 5 יח"ל

בחינת הבגרות

השנה תיגשו לשאלון 35807 המהווה 40% מהציון הסופי הבגרות במתמטיקה ברמת 5 יח"ל.

משך הבחינה: שעתיים.    מבנה הבחינה:

פרק א – בחירה של 2 מתוך 3

וקטורים (ראו פירוט).

טריגונומטרייה במרחב (ראו פירוט).

גאומטרייה אנליטית (ראו פירוט).

מספרים מרוכבים (ראו פירוט).

פרק ב – בחירה של 1 מתוך 2

בעיות גדילה ודעיכה (ראו פירוט). 

חדו"א ואלגברה של מעריכיות לוגריתמיות  (בשילוב טריגונומטרייה) (ראו פירוט).

 

המורה המלמד בשנת תשע"א

מיכאל ריינהרץ

 

דרישות המקצוע:

• נוכחות סדירה בשיעורים
• הקשבה השתתפות פעילה במהלך השיעורים
• הבאת ציוד לימוד  הכולל ספרי לימוד מחברת ומחשבון.
• הכנת שיעורי בית ועבודות  
• כתיבת בחנים ומבחנים
   

הרכב הציון במחצית א'

• מבחנים: 70%
• בחנים ועבודות 30%
• נוכחות בשיעורים עפ"י טבלת הנוכחות

* יתכנו שינויים בהרכב הציון                 

 

תוכנית ההוראה

אלגברה:

1חזקות ומעריכים:
חוקי החזקות. חזקה עם מעריך רציונאלי.
שורשים: הכנסת גורם מתחת לשורש,  הוצאת גורם מתוך השורש, ביטול שורש במכנה.
פונקציות מעריכיות תכונותיהן ותיאורן הגרפי.
משוואות מעריכיות ואי שוויונות מעריכיים.

לוגריתמים:
לוגריתם בבסיס כלשהו, לוגריתם של מכפלה, מנה, חזקה ושורש. מעבר לוגריתם מבסיס לבסיס. הפונקציות הלוגריתמיות תכונותיהן ותיאורן הגרפי.  משוואות לוגריתמיות ואי-שוויונות לוגריתמיות.

בעיות גדילה ודעיכה:
גדילה מעריכית ודעיכה מעריכית, זמן מחצית חיים.

גיאומטריה אנליטית

מרחק בין שתי נקודות, שיפוע ישר על פי שתי נקודות, משוואת ישר (על פי שיפוע ונקודה, ועל פי שתי נקודות), נקודת חיתוך של שני ישרים, ישרים מקבילים וישרים מאונכים זה לזה, חלוקת קטע ביחס נתון, מרחק של נקודה מישר, זווית בין ישרים, משוואת חוצה זווית בין ישרים.
מעגל (כללי), התנאי שהמשוואה  היא משוואה של מעגל. משיק למעגל בנקודה עליו ומנקודה מחוצה לו, תנאי השקה למעגל.
פרבולה: הגדרתה כמקום גיאומטרי, המשוואה הקנונית, מוקד , מדריך ומשוואת המשיק. אליפסה, היפרבולה: הגדרותיהן כמקום גיאומטרי, המשוואות הקנוניות שלהן, ציריהן ומוקדיהן, האסימפטוטות של ההיפרבולה (אין צורך בתנאי ההשקה של ישר לאליפסה ולהיפרבולה, אך צריך לדעת שבנקודת ההשקה לאליפסה הדיסקרימיננטה של המשוואה המתאימה שווה 0).
פתרון בעיות המשלבות צורות שונות מבין הצורות שתוארו לעיל.
מקומות גיאומטריים.

מספרים מרוכבים  
הגדרה, שוויון, ארבע הפעולות. ערך מוחלט, מספרים צמודים, שורש שני.
הצגת המספרים המרוכבים במישור גאוס. משפט דה-מואבר, שורשי יחידה, שורשים. המשמעויות הגיאומטריות של ארבע הפעולות, של הערך המוחלט  ושל השורשים.
הערה: בפתרון בעיות במספרים מרוכבים עשוי להידרש ידע בסדרות, בנוסחאות ויאטה (מעבר להקשר של סימני השורשים), ושימוש בזהויות טריגונומטריות.

 

 

 

 

וקטורים

וקטורים כחיצים במרחב. חיבור וקטורים ותכונותיו, חיסור וקטורים. כפל בסקלר ותכונותיו. קומבינציה ליניארית של וקטורים.  חלוקת קטע ביחס נתון. שימושים לחישובים ולהוכחות במישור ובמרחב.
המכפלה הסקלרית ותכונותיה. ניצבות בין ישרים ובין ישר למישור. חישובי אורך וחישובי זווית. הוכחות של תכונות גיאומטריות במישור ובמרחב.
מערכת צירים במרחב. הצגה אלגברית של וקטורים ופעולות אלגבריות בוקטורים (חיבור, חיסור, כפל בסקלר ומכפלה סקלרית). הצגה פרמטרית של ישר במרחב. מצב הדדי של ישרים. הצגה פרמטרית של מישור במרחב, ומשוואה של מישור במרחב. מצב הדדי  בין מישורים, ובין ישר ומישור.
חישובי מרחקים:  בין שתי נקודות, בין נקודה לישר, בין נקודה למישור, בין ישרים מקבילים ובין ישרים מצטלבים, בין ישר למישור, ובין שני מישורים.
חישוב זוויות : בין שני ישרים, בין שני מישורים, ובין ישר למישור.
להלן המשפטים הנדרשים בנושא הוקטורים.
משפטים א-ב נדרשים עם הוכחה. משפטים ג-ה ללא הוכחה (לשימושים בחישובים).

1. ישר ניצב למישור אם ורק אם הוא מאונך לשני ישרים לא מקבילים במישור.
2. ישר במישור ניצב למשופע למישור אם ורק אם הוא מאונך להיטל המשופע על המישור.
3. ישר l  ניצב למישור ABCאם ורק אם   = l× = l× l×כאשרl וקטור על הישר ו-Oראשית הצירים.
4. כל וקטור במישור ניתן להצגה יחידה כקומבינציה ליניארית של שני וקטורים בלתי תלויים במישור, וכל קומבינציה כזו נמצאת במישור.
5. כל שלושה וקטורים בלתי תלויים במרחב הם בסיס למרחב.

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי:

משיק בנקודה, שיפוע של גרף בנקודה, הפונקציה הנגזרת. מושג אינטואיטיבי של גבול. הנגזרת בנקודה כתהליך גבולי. המהירות כנגזרת.  

פונקצית הערך המוחלט, ואי גזירות הפונקציה  באפס.

נקודות אפס, עלייה וירידה, זוגיות ואי זוגיות. המשמעות האלגברית והגרפית של נקודות חיתוך של פונקציות, של  f(x) > g(x), f(x) – g(x)וכד'.

נגזרות של פונקציות מעריכיות, פונקציות חזקה (עם מעריך רציונאלי), ופונקציות לוגריתמיות, כולל שילוב שלהן עם פונקציות פולינום, פונקציות רציונאליות, ופונקציות טריגונומטריות.
נגזרת של סכום, מכפלה, מנה, פונקציה מורכבת של כל הפונקציות, פונקציה סתומה.  מציאת פונקציה קדומה לכל הנגזרות של הפונקציות שצוינו לעיל.

נגזרת שנייה. קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה (קעורה כלפי מעלה   קעורה כלפי מטה). נקודות פיתול.

 

שימושי הנגזרת:

• לפתרון בעיות שבהן יש צורך במציאת שיפוע משיק.
• לפתרון בעיות קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור (מכל הסוגים כולל בעיות נפח ושטח פנים של גופים פשוטים, וכולל קיצון בקצה קטע סגור).
• לחקירת פונקציה ושרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. החקירה תכלול תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, תחומי עלייה וירידה, נקודות קיצון (מקומי ומוחלט), התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, נקודות פיתול, תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה, התנהגות בסביבת נקודת אי-הגדרה, אסימפטוטות מקבילות לצירים (בכל סוגי הפונקציות) בהתאם לפירוט הבא:
  אסימפטוטות מקבילות לצירים בפונקציות הכוללות אלמנטים מעריכיים ולוגריתמיים ידרשו עבור , ושילובים פשוטים שלהם.
  עבור  יידרשו אסימפטוטות רק כאשר מציאתן פשוטה.
  לא יידרשו אסימפטוטות עבור מכפלות או מנות של פונקצית חזקה עם אחת הפונקציות הללו.

חשבון אינטגרלי של פונקציות חזקה (עם מעריך רציונאלי), הפונקציות המעריכיות ושל פונקציות אשר הקדומה שלהן היא לוגריתמית: האינטגרל של  x^r,  e^x,  a^x, , וכן  [f(x)]^r,  e^f(x),  a^f(x), , כאשר f(x)לינארית, ושילובן בפונקצית רציונאליות וטריגונומטריות.

אינטגרלים מידיים. אינטגרל של סכום פונקציות ושל כפל פונקציה בקבוע. אינטגרל של פונקציה שקדומתה מורכבת. אינטגרל לא מסוים, פונקציה קדומה, קבוע האינטגרציה, מציאת פונקציה על פי הנגזרת ונקודה על הפונקציה. אימות אינטגרלים על ידי גזירה. האינטגרל המסוים. חישוב שטח בין גרף הפונקציה לציר x(הפונקציה יכולה להיות חיובית, שלילית או  לשנות סימן), חישוב שטח בין גרפים של שתי פונקציות, חישוב שטחים מורכבים. חישוב נפח של גופי סיבוב. בעיות ערך קיצון שבהן יש אינטגרל (מכל הסוגים).
 

הערות:

1. הנושא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי  של הפונקציות  x^r  והפונקציות המעריכיות והלוגריתמיות כולל את כל הנושאים, המיומנויות (האנליטיות והאלגבריות), והשימושים הנדרשים בשאלון הקודם.

     לדוגמה: ייתכנו אינטגרלים מהצורה                                      

                                                             

1. פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות שיש בהן מרכיב טריגונומטרי עשויות להידרש הן בחשבון הדיפרנציאלי והן בחשבון האינטגרלי.

 

 

 

 

טריגונומטרייה במרחב:

יישומים במרחב הדורשים שימוש במשפטים בגאומטרייה  ובזהויות טריגונומטריות.
חישובים במרחב של: זוויות, אורכי קטעים, שטחים (כמו מעטפת או שטח פנים), ונפחים בגופים הישרים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה, גליל, פירמידה, חרוט (ללא גופים חסומים).
בפתרון בעיות יידרש שימוש בתכונות הגאומטריות של הצורות והגופים השונים, בזהויות ובפונקציות הטריגונומטריות. בבעיות במרחב יידרש שימוש גם במושגים: זווית בין ישרים, ישר ניצב למישור, ישר משופע למישור, זווית בין ישר למישור, זווית בין מישורים.

לצורך פתרון הבעיות ייתכן שימוש של הזהויות שנלמדו בטריגונומטרייה למציאת זוויות.  פתרון מצולעים המתפרקים למשולשים ישרי זווית, נוסחת שטח המשולש , משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים והשימוש בהם להתרת משולש כללי.